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人教版高三数学必修5知识点:等差数列的前n项和

作者:jypxw      2022-03-21 03:39:02     60   

人教版高三数学必修5知识点:等差数列的前n项和

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1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.

2.等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.

3.等差中项

如果A=(a+b)/2,那么A叫做a与b的等差中项.

4.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).

(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,

则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).

(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.

(5)S2n-1=(2n-1)an.

(6)若n为偶数,则S偶-S奇=nd/2;

若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).

注意:

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:

Sn=a1+a2+a3+…+an,①

Sn=an+an-1+…+a1,②

①+②得:Sn=n(a1+an)/2

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….

(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.

四种方法

等差数列的判断方法

(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;

(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;

(3)通项公式法:验证an=pn+q;

(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.

注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.

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